24. При каких действительных значениях х и у комплексные числа z₁=9y²-4-10xi и z₂=8y²+20i⁷ являются сопряженными?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим z₂.
   Учитывая, что \(i^7 = i^4 \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i\), получим:
   \(z_2 = 8y^2 + 20(-i) = 8y^2 - 20i\).
2. Шаг 2: Приравняем действительные части.
   Для сопряженных чисел действительные части равны:
   \[ 9y^2 - 4 = 8y^2 \]
   \[ 9y^2 - 8y^2 = 4 \]
   \[ y^2 = 4 \]
   \[ y = \pm 2 \].
3. Шаг 3: Приравняем мнимые части с противоположным знаком.
   Мнимые части должны быть противоположны:
   \[ -10x = -(-20) \]
   \[ -10x = 20 \]
   \[ x = -2 \].
4. Шаг 4: Проверим условие для y = -2.
   Если \(y = -2\), то \(y^2 = 4\).
   \(z_1 = 9(4) - 4 - 10xi = 36 - 4 - 10xi = 32 - 10xi\).
   \(z_2 = 8(4) + 20i^7 = 32 - 20i\).
   Действительные части равны (32). Мнимые части противоположны (-10x = 20, x = -2).
5. Шаг 5: Проверим условие для y = 2.
   Если \(y = 2\), то \(y^2 = 4\).
   \(z_1 = 9(4) - 4 - 10xi = 36 - 4 - 10xi = 32 - 10xi\).
   \(z_2 = 8(4) + 20i^7 = 32 - 20i\).
   Действительные части равны (32). Мнимые части противоположны (-10x = 20, x = -2).

Ответ: x = -2, y = ±2