24. Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка M — середина стороны AB. Докажите, что DM — биссектриса угла ADC.

Обозначим через \(\mathbf u\) единичный вектор направления \(DA\), а через \(\mathbf v\) — единичный вектор направления \(DC\). Пусть \(AD=d\). В параллелограмме \(AB=DC=2d\).

Тогда вектор \(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+ frac12\overrightarrow{AB}=d\mathbf u+d\mathbf v=d(\mathbf u+\mathbf v)\), поскольку M — середина AB.

Вектор \(\mathbf u+\mathbf v\) направлен по биссектрисе угла между единичными векторами \(\mathbf u\) и \(\mathbf v\): он образует с каждым из них равные углы. Следовательно, луч DM делит угол ADC пополам.

Что и требовалось доказать.