24. Точка M — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника MCD равна половине площади трапеции.

Пусть основания трапеции — \(AD\) и \(BC\), а её высота равна \(h\). Выберем координаты: \(A=(0;0)\), \(D=(d;0)\), \(B=(u;h)\), \(C=(u+c;h)\), где \(AD=d\), \(BC=c\). Так как \(M\) — середина \(AB\), то \(M=(\frac u2;\frac h2)\).

Площадь трапеции равна \(S_{ABCD}=\frac{(d+c)h}{2}\).

Для треугольника \(MCD\) возьмём векторы \(\overrightarrow{MC}=(\frac u2+c;\frac h2)\) и \(\overrightarrow{MD}=(d-\frac u2;-\frac h2)\). Тогда

\(S_{MCD}=\frac12\left|\left(\frac u2+c\right)(-\frac h2)-\frac h2\left(d-\frac u2\right)\right|=\frac{(d+c)h}{4}=\frac12S_{ABCD}.\)

Следовательно, площадь треугольника \(MCD\) составляет половину площади трапеции.