25. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 12 и CD = 30 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём угол AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Обозначим через \(\alpha\) и \(\gamma\) центральные углы, опирающиеся соответственно на хорды \(AB\) и \(CD\). По теореме об угле между пересекающимися хордами \(\alpha+\gamma=2\angle AKB=120^\circ\).

Положим \(u=\frac\alpha2\), \(v=\frac\gamma2\). Тогда \(u+v=60^\circ\). Формула длины хорды даёт:

\(12=2R\sin u\), \(30=2R\sin v\), поэтому \(\frac{\sin u}{\sin v}=\frac25\).

Подставим \(v=60^\circ-u\):

\(5\sin u=2\sin(60^\circ-u)=\sqrt3\cos u-\sin u\), откуда \(\tan u=\frac1{2\sqrt3}\). Следовательно, \(\sin u=\frac1{\sqrt{13}}\).

Из равенства \(12=2R\sin u\) получаем \(R=6\sqrt{13}\).

Ответ: \(6\sqrt{13}\).