24. Точка N — середина боковой стороны CD трапеции ABCD, а NA = NB. Докажите, что угол BAD — прямой.

Так как \(CD\) — боковая сторона трапеции, её основания параллельны: \(AD\parallel BC\).

Расположим основания горизонтально и зададим координаты: \(D=(0;0)\), \(A=(a;0)\), \(C=(u;h)\), \(B=(u+a;h)\). Тогда середина \(CD\) имеет координаты \(N=(u/2;h/2)\).

Из условия \(NA=NB\), следовательно, \(NA^2=NB^2\):

\((a-u/2)^2+(h/2)^2=(a+u/2)^2+(h/2)^2\).

После упрощения получаем \(u=0\). Значит, \(A=(a;0)\), а \(B=(a;h)\): отрезок \(AB\) вертикален, тогда как \(AD\) горизонтален. Поэтому \(AB\perp AD\), то есть \(\angle BAD=90^\circ\).

Доказано.