24. Упростите выражение: 1) sin(α + β) − sin α cos β; 2) cos(α + β) + sin α sin β; 3) sin(π/3 + α) − 1/2 sin α; 4) cos(α + π/4) + √2/2 sin α.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Раскроем синус суммы: \(\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta=\cos\alpha\sin\beta\).
Раскроем косинус суммы: \(\cos(\alpha+\beta)+\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta\).
\(\sin(\frac\pi3+\alpha)-\frac12\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha+\frac12\sin\alpha-\frac12\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha\).
\(\cos(\alpha+\frac\pi4)+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha\).

Ответ: 1) \(\cos\alpha\sin\beta\); 2) \(\cos\alpha\cos\beta\); 3) \(\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha\); 4) \(\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha\).