24. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что углы $AA_1B_1$ и $ABB_1$ равны.

Question

Вопрос: $Фото задания: 24. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что углы $AA_1B_1$ и $ABB_1$…$ Фото задания

24. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что углы $AA_1B_1$ и $ABB_1$ равны.

Accepted Answer

Так как $AA_1$ — высота, $AA_1\perp BC$. Точка $A_1$ лежит на $BC$, поэтому $\angle AA_1B=90^\circ$. Так как $BB_1$ — высота, $BB_1\perp AC$, а точка $B_1$ лежит на $AC$, поэтому $\angle AB_1B=90^\circ$.

Значит, точки $A,A_1,B,B_1$ лежат на одной окружности: углы $AA_1B$ и $AB_1B$ опираются на один и тот же отрезок $AB$ и оба прямые. В этой окружности углы $AA_1B_1$ и $ABB_1$ опираются на одну хорду $AB_1$, поэтому они равны.

Что и требовалось доказать.

24. В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AA_1\) и \(BB_1\). Докажите, что углы \(AA_1B_1\) и \(ABB_1\) равны.

Ответ: