24. В остроугольном треугольнике ACD проведены высоты AA₁ и DD₁. Докажите, что углы A₁AD и A₁D₁D равны.

Поскольку \(AA_1\perp CD\), а точка \(A_1\) лежит на \(CD\), имеем \(\angle AA_1D=90^\circ\). Аналогично, \(DD_1\perp AC\), а \(D_1\) лежит на \(AC\), поэтому \(\angle AD_1D=90^\circ\).

Значит, точки \(A,A_1,D_1,D\) лежат на одной окружности с диаметром \(AD\). В этой окружности углы \(A_1AD\) и \(A_1D_1D\) опираются на одну хорду \(A_1D\), поэтому они равны.

\[\angle A_1AD=\angle A_1D_1D.\]