25. Две касающиеся внешним образом в точке D окружности, радиусы которых равны 6 и 18, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку D, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

По данным условия радиус описанной окружности однозначно не определяется: он зависит от величины угла \(A\), которая не задана.

Это видно из вычисления. Обозначим через \(\alpha=\frac{\angle A}{2}\) половину угла. Центры вписанных в угол окружностей лежат на его биссектрисе. Если расстояние между центрами равно \(6+18=24\), то общая касательная в точке \(D\) перпендикулярна биссектрисе, а расстояние от \(A\) до этой касательной равно \(12/\sin\alpha\). Точки \(B,C\) симметричны относительно биссектрисы, и половина основания \(BC\) равна \(12/\cos\alpha\).

Следовательно, \(AB=AC=\sqrt{(12/\sin\alpha)^2+(12/\cos\alpha)^2}=12/(\sin\alpha\cos\alpha)\). Высота треугольника к основанию \(BC\) равна \(12/\sin\alpha\). Для равнобедренного треугольника радиус описанной окружности равен квадрату боковой стороны, делённому на удвоенную высоту:

\[R=\frac{AB^2}{2\cdot(12/\sin\alpha)}=\frac{6}{\sin\alpha\cos\alpha}.\]

Поскольку \(\alpha\) в условии не указана, числовое значение \(R\) найти нельзя. Чтобы получить единственный ответ, необходима величина угла \(A\) или дополнительное условие, определяющее его.