24. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади параллелограмма.

Обозначим площадь параллелограмма через \(S\). Возьмём за основу два вектора \(\overrightarrow{AB}=u\) и \(\overrightarrow{AD}=v\), так что \(A=0\), \(B=u\), \(D=v\), \(C=u+v\). Поскольку F внутри параллелограмма, запишем \(F=su+tv\), где \(0<s,t<1\).

Площадь треугольника BFC равна половине модуля определителя векторов \(\overrightarrow{BC}=v\) и \(\overrightarrow{BF}=(s-1)u+tv\). В результате \(S_{BFC}=\frac{1-s}{2}S\).

Аналогично, используя векторы \(\overrightarrow{AD}=v\) и \(\overrightarrow{AF}=su+tv\), получаем \(S_{AFD}=\frac{s}{2}S\).

Следовательно, \(S_{BFC}+S_{AFD}=\frac{1-s}{2}S+\frac{s}{2}S=\frac12S\). Это доказывает утверждение для любой внутренней точки F.