25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Пусть основания трапеции равны \(a<b\), высота — \(h\), а боковая сторона — \(l\). Так как трапеция описана около окружности, сумма длин её противоположных сторон равна: \(a+b=2l\). Из периметра \(a+b+2l=80\) получаем \(a+b=40\) и \(l=20\).

Площадь равна \(\frac{a+b}{2}h=320\), поэтому \(20h=320\) и \(h=16\).

Горизонтальный сдвиг каждой боковой стороны равен \(d=\frac{b-a}{2}\). По теореме Пифагора \(d^2+16^2=20^2\), значит \(d=12\), откуда \(b-a=24\). Совместно с \(a+b=40\) это даёт \(a=8\), \(b=32\).

Диагонали делятся точкой пересечения пропорционально основаниям. Поэтому расстояние от меньшего основания до точки пересечения составляет долю \(\frac{a}{a+b}\) высоты: \(16\cdot\frac{8}{40}=3.2\).

Ответ: 3,2.