25. Длина катета AC прямоугольного треугольника ABC равна 8 см. Окружность с диаметром AC пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AM : MB = 16 : 9.

Так как \(M\) лежит на окружности с диаметром \(AC\), по теореме Фалеса \(\angle AMC=90^\circ\). Следовательно, \(CM\) — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу \(AB\).

По теореме о проекции катета:

\[AC^2=AB\cdot AM.\]

Из отношения \(AM:MB=16:9\) следует:

\[AB:AM=(16+9):16=25:16,\qquad AB=\frac{25}{16}AM.\]

Подставим \(AC=8\):

\[64=\frac{25}{16}AM^2,\qquad AM^2=\frac{1024}{25},\qquad AM=\frac{32}{5}.\]

Тогда

\[AB=\frac{25}{16}\cdot\frac{32}{5}=10.\]

По теореме Пифагора:

\[BC^2=AB^2-AC^2=100-64=36,\qquad BC=6.\]

Площадь треугольника:

\[S=\frac12\cdot AC\cdot BC=\frac12\cdot8\cdot6=24\text{ см}^2.\]

Ответ: 24 см².