25*. Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведённых из этой же вершины.

Пусть из вершины проведены высота h, биссектриса l и медиана m.

1. Высота — кратчайшее расстояние от вершины до прямой, содержащей противоположную сторону. Точка пересечения биссектрисы со стороной лежит на этой прямой, поэтому h ≤ l.
2. Обозначим прилежащие к вершине стороны через b и c, а противоположную сторону — через a. По теореме Стюарта для медианы и теореме о длине биссектрисы: m² = (2b² + 2c² − a²)/4, l² = bc(1 − a²/(b + c)²). Тогда m² − l² = (b − c)²(2(b + c)² − a²)/(4(b + c)²) ≥ 0, поскольку a < b + c.

Значит, l ≤ m.

Ответ: h ≤ l ≤ m.