28. В треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из сторон. Найдите остальные углы и третью сторону треугольника, если: 1) a = 12, b = 5, α = 120°; 2) a = 27, b = 9, α = 138°; 3) a = 34, b = 12, α = 164°; 4) a = 2, b = 4, α = 60°; 5) a = 6, b = 8, α = 30°.

По теореме синусов sin β = b·sin α/a. Если β может быть как острым, так и тупым, проверяем оба значения; сумма углов должна быть 180°.

1. sin β = 5·sin 120°/12, откуда β ≈ 21,2°. Дополнительный угол 158,8° невозможен, так как вместе с α он превышает 180°. γ ≈ 38,8°, c = 12·sin γ/sin 120° ≈ 8,69.
2. sin β = 9·sin 138°/27, откуда β ≈ 12,9°. Второй вариант угла не подходит. γ ≈ 29,1°, c ≈ 19,61.
3. sin β = 12·sin 164°/34, откуда β ≈ 5,6°. Второй вариант угла не подходит. γ ≈ 10,4°, c ≈ 22,31.
4. sin β = 4·sin 60°/2 = √3 > 1. Такое значение синуса невозможно, поэтому треугольник не существует.
5. sin β = 8·sin 30°/6 = 2/3. Возможны β ≈ 41,8° или β ≈ 138,2°. В первом случае γ ≈ 108,2° и c ≈ 11,40; во втором γ ≈ 11,8° и c ≈ 2,45. Оба треугольника существуют.

Ответ: 1) β ≈ 21,2°, γ ≈ 38,8°, c ≈ 8,69; 2) β ≈ 12,9°, γ ≈ 29,1°, c ≈ 19,61; 3) β ≈ 5,6°, γ ≈ 10,4°, c ≈ 22,31; 4) треугольник не существует; 5) два решения: β ≈ 41,8°, γ ≈ 108,2°, c ≈ 11,40 или β ≈ 138,2°, γ ≈ 11,8°, c ≈ 2,45.