25. Найдите корень уравнения

Решение:

Решим уравнение \( \left(\frac{1}{5}\right)^{4x-5} = 5^{2-3x} \).

1. Приведём обе части уравнения к одному основанию. Так как \( \frac{1}{5} = 5^{-1} \), то левая часть уравнения будет: \( \left(5^{-1}\right)^{4x-5} = 5^{-(4x-5)} = 5^{-4x+5} \).
2. Теперь уравнение выглядит так: \( 5^{-4x+5} = 5^{2-3x} \).
3. Поскольку основания равны, приравняем показатели степеней: \( -4x + 5 = 2 - 3x \).
4. Перенесём члены с \( x \) в левую часть, а свободные члены — в правую: \( -4x + 3x = 2 - 5 \).
5. Упростим: \( -x = -3 \).
6. Разделим обе части на \(-1\): \( x = 3 \).

Ответ: \( x = 3 \).