26. Найдите корень уравнения

Решение:

Решим логарифмическое уравнение \( \log_{3} (6x-15) = -3 \).

1. По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).
2. Применим это к нашему уравнению: \( 3^{-3} = 6x - 15 \).
3. Вычислим \( 3^{-3} \): \( 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \).
4. Уравнение примет вид: \( \frac{1}{27} = 6x - 15 \).
5. Перенесём \(-15\) в левую часть: \( \frac{1}{27} + 15 = 6x \).
6. Приведём \(15\) к дроби со знаменателем \(27\): \( 15 = \frac{15 \cdot 27}{27} = \frac{405}{27} \).
7. Сложим дроби: \( \frac{1}{27} + \frac{405}{27} = \frac{406}{27} \).
8. Теперь уравнение выглядит так: \( \frac{406}{27} = 6x \).
9. Разделим обе части на \(6\) (или умножим на \( \frac{1}{6} \)): \( x = \frac{406}{27 \cdot 6} \).
10. Упростим дробь, сократив \(406\) и \(6\) на \(2\): \( x = \frac{203}{27 \cdot 3} = \frac{203}{81} \).
11. Проверим область определения: \( 6x - 15 > 0 \). \( 6 \cdot \frac{203}{81} - 15 = \frac{2 \cdot 203}{27} - 15 = \frac{406}{27} - \frac{405}{27} = \frac{1}{27} > 0 \). Условие выполняется.

Ответ: \( x = \frac{203}{81} \).