28. Решите неравенство

Решение:

Решим неравенство \( \left(\frac{1}{7}\right)^{2x^2-3x} \ge \frac{1}{49} \).

1. Приведём правую часть неравенства к основанию \( \frac{1}{7} \). Так как \( 49 = 7^2 \), то \( \frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = \left(\frac{1}{7}\right)^2 \).
2. Неравенство примет вид: \( \left(\frac{1}{7}\right)^{2x^2-3x} \ge \left(\frac{1}{7}\right)^2 \).
3. Поскольку основание степени \( \frac{1}{7} < 1 \), при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется на противоположный: \( 2x^2 - 3x \le 2 \).
4. Перенесём \(2\) в левую часть: \( 2x^2 - 3x - 2 \le 0 \).
5. Решим квадратное неравенство. Найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \).
6. Корни уравнения: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4} \).
7. \( x_1 = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \).
8. \( x_2 = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \).
9. Парабола \( y = 2x^2 - 3x - 2 \) ветвями направлена вверх, поэтому неравенство \( 2x^2 - 3x - 2 \le 0 \) выполняется при \( x \) между корнями, включая сами корни.

Ответ: \( [-0.5; 2] \) или \( [- \frac{1}{2}; 2] \).