25. Найдите корень уравнения \( \left(\frac{1}{5}\right)^{4x-5} = 5^{2-3x} \)

Решение:

Приведём обе части уравнения к одному основанию. Так как \( \frac{1}{5} = 5^{-1} \), уравнение примет вид:

\( (5^{-1})^{4x-5} = 5^{2-3x} \)

Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m · n} \):

\( 5^{(-1)(4x-5)} = 5^{2-3x} \)

\( 5^{-4x+5} = 5^{2-3x} \)

Приравниваем показатели степеней:

\( -4x + 5 = 2 - 3x \)

Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\( -4x + 3x = 2 - 5 \)

\( -x = -3 \)

\( x = 3 \)

Ответ: 3