28. Решите неравенство \( \left(\frac{1}{7}\right)^{2x^2-3x} \geq \frac{1}{49} \)

Решение:

Представим \( \frac{1}{49} \) как степень с основанием \( \frac{1}{7} \).

\( \frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = \left(\frac{1}{7}\right)^2 \).

Неравенство примет вид:

\( \left(\frac{1}{7}\right)^{2x^2-3x} \geq \left(\frac{1}{7}\right)^2 \)

Так как основание степени \( \frac{1}{7} \) меньше 1, при переходе от степеней к показателям нужно сменить знак неравенства на противоположный:

\( 2x^2 - 3x \leq 2 \)

Перенесём 2 в левую часть:

\( 2x^2 - 3x - 2 \leq 0 \)

Теперь решим квадратное неравенство. Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \).

Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2(2)} = \frac{-2}{4} = -0.5 \)

\( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2(2)} = \frac{8}{4} = 2 \)

Парабола \( y = 2x^2 - 3x - 2 \) направлена ветвями вверх. Неравенство \( 2x^2 - 3x - 2 \leq 0 \) выполняется для \( x \) между корнями, включая сами корни.

Ответ: \( [-0.5; 2] \)