26. Найдите корень уравнения $$ \log_3 (6x - 15) = -3 $$

Решение:

Перепишем логарифмическое уравнение в показательной форме. По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).

В нашем случае \( a=3 \), \( b=6x-15 \), \( c=-3 \).

Получаем:

\[ 3^{-3} = 6x - 15 \]

1. Вычислим \( 3^{-3} \):

\[ 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \]

1. Подставим это значение в уравнение:

\[ \frac{1}{27} = 6x - 15 \]

1. Перенесем 15 в левую часть:

\[ \frac{1}{27} + 15 = 6x \]

\[ 15 \frac{1}{27} = 6x \]

\[ \frac{15 \cdot 27 + 1}{27} = 6x \]

\[ \frac{405 + 1}{27} = 6x \]

\[ \frac{406}{27} = 6x \]

1. Разделим обе части на 6:

\[ x = \frac{406}{27 \cdot 6} \]

\[ x = \frac{406}{162} \]

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

\[ x = \frac{203}{81} \]

Проверим условие существования логарифма: \( 6x - 15 > 0 \).

\[ 6 \cdot \frac{203}{81} - 15 = \frac{2 \cdot 203}{27} - 15 = \frac{406}{27} - \frac{15 \cdot 27}{27} = \frac{406 - 405}{27} = \frac{1}{27} \]

Так как \( \frac{1}{27} > 0 \), корень подходит.

Ответ: \( x = \frac{203}{81} \)