25. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна \(18\sqrt{3}\).

Обозначим катеты через \(a\) и \(b\). Из формулы площади получаем \(\frac{ab}{2}=18\sqrt{3}\), то есть \(ab=36\sqrt{3}\). По теореме Пифагора \(a^2+b^2=12^2=144\).

Пара катетов \(6\) и \(6\sqrt{3}\) удовлетворяет обоим условиям: их произведение равно \(36\sqrt{3}\), а сумма квадратов равна \(36+108=144\). Значит, катеты именно такие.

В прямоугольном треугольнике с отношением катетов \(6:6\sqrt{3}=1:\sqrt{3}\) острые углы равны \(30^\circ\) и \(60^\circ\).

Ответ: \(30^\circ\) и \(60^\circ\).