25. Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

Пусть основания равны \(a\) и \(3a\), а высота трапеции равна \(h\). Точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении оснований, поэтому её расстояние от меньшего основания равно \(h/4\).

Отрезок, параллельный основаниям через точку пересечения диагоналей, имеет длину \(\frac{a+3a}{2}=2a\). Площадь части у меньшего основания равна \(\frac{a+2a}{2}\cdot\frac{h}{4}=\frac{3ah}{8}\). Площадь всей трапеции равна \(\frac{a+3a}{2}\cdot h=2ah\). Следовательно, площадь этой части составляет \(\frac{3}{16}\) площади трапеции; оставшаяся часть составляет \(\frac{13}{16}\).

Ответ: площади частей относятся как 3:13.