25. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 5. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение:

Пусть сторона квадрата ABCD равна \( a \). Тогда \( C = (a, 0) \), \( D = (0, 0) \), \( A = (0, a) \), \( B = (a, a) \). Точка О — середина CD, значит, \( O = (\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{a}{2}, 0) \).

Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 5. Расстояние от О до А равно 5.

Используем формулу расстояния между двумя точками \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \).

\( OA = \sqrt{(0 - \frac{a}{2})^2 + (a - 0)^2} = 5 \)

\( \sqrt{(-\frac{a}{2})^2 + a^2} = 5 \)

\( \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = 5 \)

\( \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = 5 \)

Возведем обе стороны в квадрат:

\( \frac{5a^2}{4} = 25 \)

\( 5a^2 = 100 \)

\( a^2 = 20 \)

Площадь квадрата ABCD равна \( a^2 \).

Ответ: 20