25. В графе 14 рёбер. Каждая вершина графа имеет или степень 2, или степень 5. Причём вершин степени 2 столько же, сколько вершин степени 5. Сколько вершин в этом графе?

Решение:

Обозначим количество вершин степени 2 как x, и количество вершин степени 5 как y.

По условию, количество вершин степени 2 равно количеству вершин степени 5, то есть x = y.

По теореме о сумме степеней вершин графа, сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер:

$$ ext{Сумма степеней} = 2 imes ext{Число рёбер} $$

В нашем случае, число рёбер равно 14, значит, сумма степеней равна 2 * 14 = 28.

Сумма степеней также равна сумме произведений степени каждой вершины на количество таких вершин:

$$ (2 imes x) + (5 imes y) = 28 $$

Так как x = y, мы можем подставить x вместо y (или наоборот):

$$ (2 imes x) + (5 imes x) = 28 $$

$$ 7x = 28 $$

$$ x = rac{28}{7} = 4 $$

Значит, количество вершин степени 2 равно 4, и количество вершин степени 5 также равно 4.

Общее количество вершин в графе равно сумме вершин каждой степени: x + y = 4 + 4 = 8.

Ответ: 8