25. В прямоугольном треугольнике катет AB и гипотенуза AC равны 5 и \(5\sqrt{17}\) соответственно. К прямой, содержащей биссектрису BL угла ABC, проведён перпендикуляр CH. Найдите площадь треугольника CLH.

Прямой угол находится при \(B\), поэтому второй катет равен \(BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{425-25}=20\).

По теореме о биссектрисе \(AL:LC=AB:BC=5:20=1:4\). Так как \(AC=5\sqrt{17}\), получаем \(LC=4\sqrt{17}\).

Для нахождения площади удобно задать координаты: \(B=(0,0)\), \(A=(5,0)\), \(C=(0,20)\). Биссектриса прямого угла имеет уравнение \(y=x\). Точка \(L\), делящая \(AC\) в отношении \(1:4\), имеет координаты \((4,4)\). Перпендикуляр из \(C\) к прямой \(y=x\) попадает в точку \(H=(10,10)\).

Площадь треугольника \(CLH\): \(S=\frac12\left|(L-C)\times(H-C)\right|=\frac12|4\cdot10-(-16)\cdot10|=100\).

Ответ: 100.