25. В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 60, AC = 80, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Введём координаты: \(A=(0,0)\), \(C=(80,0)\), \(B=(x,y)\). Тогда \(x^2+y^2=AB^2=3600\). Центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к AC, поэтому обозначим \(O=(40,k)\).

Из равенства \(OA=OB\):

\(1600+k^2=(x-40)^2+(y-k)^2\).

С учётом \(x^2+y^2=3600\) получаем \(2yk=3600-80x\), следовательно, \(yk=1800-40x\).

Направляющий вектор прямой AO — \((40,k)\), поэтому перпендикулярная ей прямая BD имеет направляющий вектор \((-k,40)\). На прямой через B точки имеют вид \((x-tk, y+40t)\). При пересечении с AC вторая координата равна нулю, значит \(t=-y/40\). Тогда абсцисса точки D равна \(x+yk/40=x+(1800-40x)/40=45\).

Итак, \(AD=45\), поэтому \(CD=AC-AD=80-45=35\).

Ответ: 35.