25. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 4 : 9. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади четырёхугольника KPCM.

Так как \(BM\) — медиана, точка \(M\) является серединой \(AC\). Пусть \(BK:KM=4:9\). Тогда \(BM=13\) частей и \(BK:BM=4:13\).

Используем координаты: пусть \(B=(0,0)\), \(C=(2,0)\), \(A=(0,2)\). Тогда \(M=(1,1)\), а
\[K=\frac{9B+4M}{13}=\left(\frac4{13},\frac4{13}\right).\]

Прямая \(AK\) пересекает \(BC\right) при \(P=\left(\frac{8}{9},0\right)\). Площадь треугольника \(AKM\):
\[S_{AKM}=\frac{14}{117}.\]

Площадь треугольника \(ABM\) равна \(1\), а четырёхугольник \(KPCM\) дополняет треугольник \(AKM\) до \(ABM\), поэтому
\[S_{KPCM}=1-\frac{14}{117}=\frac{103}{117}.\]

Следовательно,
\[\frac{S_{AKM}}{S_{KPCM}}=\frac{14/117}{103/117}=\frac{14}{103}.\]

Ответ: \(14:103\).