25. В треугольнике ABC проведены медиана BM и биссектриса AP, пересекающиеся в точке S. Найдите отношение площади четырёхугольника SPCM к площади треугольника ABC, если сторона AC в три раза больше стороны AB.

Положим \(AB=1\), \(AC=3\) и выберем координаты \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(C(0;3)\). Тогда \(M(0;1.5)\).

По теореме о биссектрисе \(BP:PC=AB:AC=1:3\), поэтому \(P(0.75;0.75)\). Точка S лежит на AP и BM. Запишем их уравнения: на AP координаты имеют вид \((0.75t;0.75t)\), а на BM — \((1-r;1.5r)\). Приравнивая координаты, получаем \(t=2r\) и \(0.75t=1-r\), откуда \(r=0.4\), \(t=0.8\), следовательно, \(S(0.6;0.6)\).

Площадь треугольника ABC равна \(\frac{1\cdot3}{2}=1.5\). По формуле площади многоугольника по координатам для вершин S, P, C, M площадь четырёхугольника SPCM равна \(0.675\). Поэтому

\(\frac{S_{SPCM}}{S_{ABC}}=\frac{0.675}{1.5}=0.45=\frac{9}{20}\).

Ответ: \(\frac{9}{20}\).