23. Биссектриса угла B параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке P. Найдите периметр параллелограмма, если AP = 8, PD = 12.

Найдём сторону \(AD\): \(AD=AP+PD=8+12=20\).

Так как \(AD\parallel BC\), то \(\angle ABP=\angle BPC\). Поскольку \(BP\) — биссектриса угла \(B\), \(\angle ABP=\angle PBC\). Следовательно, \(\angle BPC=\angle PBC\), откуда в треугольнике \(BPC\) равны противоположные стороны: \(BC=PC\).

В параллелограмме \(BC=AD=20\), поэтому \(PC=20\). Тогда \(AD=AP+PD\) и из геометрии конфигурации получаем \(AB=AP=8\): треугольник \(ABP\) равнобедренный, поскольку \(\angle ABP=\angle BPA\) (\(PA\parallel BC\)).

Периметр: \(2(AB+AD)=2(8+20)=56\).

Ответ: 56.