25. В треугольнике АВС угол C равен 45°, АВ=10√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Тут нам поможет расширенная теорема синусов. Она гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R

Где:

• a, b, c — стороны треугольника
• A, B, C — углы, противолежащие этим сторонам
• R — радиус описанной окружности

В нашей задаче:

• Сторона AB (которая противолежит углу C) равна 10√2.
• Угол C равен 45°.

Мы можем записать:

AB / sin(C) = 2R

(10√2) / sin(45°) = 2R

Мы знаем, что sin(45°) = √2 / 2. Подставляем это значение:

(10√2) / (√2 / 2) = 2R

Чтобы разделить на дробь, умножим на перевернутую дробь:

10√2 * (2 / √2) = 2R

Сокращаем √2:

10 * 2 = 2R

20 = 2R

Теперь найдем R, разделив обе части на 2:

R = 20 / 2

R = 10

Ответ: 10