25. В треугольнике АВС угол С равен 45°, АВ=10√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

1. Теорема синусов: Согласно теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$.
2. Применение к задаче: В нашем случае, $$c = AB = 10\sqrt{2}$$, $$C = 45^\circ$$.
3. Подстановка значений: $$\frac{10\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = 2R$$.
4. Вычисление синуса: $$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.
5. Вычисление радиуса: $$\frac{10\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$$.
6. Упрощение: $$10\sqrt{2} × \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R$$.
7. Дальнейшее упрощение: $$10 × 2 = 2R$$, то есть $$20 = 2R$$.
8. Итоговый результат: $$R = 20 / 2 = 10$$.

Ответ: 10