№ 254. Решите уравнения, используя введение новой переменной. 1) 9^x−8·3^x−9=0; 2) 100^x−11·10^x+10=0.

1) Введём замену \(y=3^x\), где \(y>0\). Тогда \(9^x=(3^x)^2=y^2\), и уравнение принимает вид \(y^2-8y-9=0\).

Разложим на множители: \((y-9)(y+1)=0\). Получаем \(y=9\) или \(y=-1\). Так как \(y>0\), оставляем только \(y=9\). Значит, \(3^x=9=3^2\), поэтому \(x=2\).

2) Введём замену \(y=10^x\), где \(y>0\). Тогда \(100^x=(10^x)^2=y^2\), и получаем \(y^2-11y+10=0\).

Разложим на множители: \((y-1)(y-10)=0\). Отсюда \(y=1\) или \(y=10\); оба значения положительны. Значит, \(10^x=1\) или \(10^x=10\), поэтому \(x=0\) или \(x=1\).

Ответ: 1) 2; 2) 0, 1.