255 Докажи, что существует натуральное число х такое, что:

Решение:

Для каждого пункта нужно доказать, что существует такое натуральное число \( x \), которое удовлетворяет указанному условию.

a) \( 3x > 128 \)

Разделим обе части неравенства на 3: \( x > \frac{128}{3} \approx 42.67 \). Существует натуральное число \( x \), например \( x = 43 \), которое больше 42.67. Значит, \( 3 \times 43 = 129 > 128 \). Утверждение доказано.

б) \( 3x < 128 \)

Разделим обе части неравенства на 3: \( x < \frac{128}{3} \approx 42.67 \). Существует натуральное число \( x \), например \( x = 1 \), которое меньше 42.67. Значит, \( 3 \times 1 = 3 < 128 \). Утверждение доказано.

в) \( 2x - 4 = 52 \)

Решим уравнение: \( 2x = 52 + 4 \) \( 2x = 56 \) \( x = \frac{56}{2} = 28 \). Число 28 является натуральным. Утверждение доказано.

г) \( 12x - 7x = 90 \)

Упростим уравнение: \( 5x = 90 \) \( x = \frac{90}{5} = 18 \). Число 18 является натуральным. Утверждение доказано.

д) \( (8 + 3x) : 10 = 2 \)

Решим уравнение: \( 8 + 3x = 2 \times 10 \) \( 8 + 3x = 20 \) \( 3x = 20 - 8 \) \( 3x = 12 \) \( x = \frac{12}{3} = 4 \). Число 4 является натуральным. Утверждение доказано.

е) \( x(6 - x) = 8 \)

Упростим уравнение: \( 6x - x^2 = 8 \) \( x^2 - 6x + 8 = 0 \). Найдем дискриминант: \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \). \( x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \), \( x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2 \). Оба числа (4 и 2) являются натуральными. Утверждение доказано.

ж) \( (x - 1)(x + 11) = 13 \)

Раскроем скобки: \( x^2 + 11x - x - 11 = 13 \) \( x^2 + 10x - 11 - 13 = 0 \) \( x^2 + 10x - 24 = 0 \). Найдем дискриминант: \( D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 \). \( x_1 = \frac{-10 + 14}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{-10 - 14}{2} = -12 \). Число 2 является натуральным. Утверждение доказано.

з) \( 35 : x = 35 : (x + 2) \)

Предположим, что \( x \) и \( x+2 \) не равны нулю. Тогда, чтобы равенство выполнялось, знаменатели должны быть равны: \( x = x + 2 \), что невозможно. Однако, если \( 35 \) делится на \( x \) и \( x+2 \), то \( x \) и \( x+2 \) должны быть делителями числа 35. Делители 35: \( \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35 \). Пара делителей, отличающихся на 2, — это 5 и 7 (или -7 и -5). Если \( x = 5 \), то \( 35:5 = 7 \) и \( 35:(5+2) = 35:7 = 5 \). Равенство \( 7 = 5 \) неверно. Если \( x = -7 \), то \( 35:(-7) = -5 \) и \( 35:(-7+2) = 35:(-5) = -7 \). Равенство \( -5 = -7 \) неверно. В данном случае, если \( x \) - натуральное число, то невозможно равенство \( 35:x = 35:(x+2) \), кроме случая, когда \( x \) и \( x+2 \) не равны нулю, но \( 35 \) на них делится. Если \( 35 \) равно 0, то \( x \) и \( x+2 \) могут быть любыми. Но \( 35 \) не равно 0. Следовательно, чтобы \( \frac{35}{x} = \frac{35}{x+2} \), нужно \( x = x+2 \), что невозможно. Однако, если \( 35=0 \), то это возможно. Но \( 35 \) не ноль. Рассмотрим случай, если \( x \) и \( x+2 \) - это такие делители 35, что \( \frac{35}{x} = \frac{35}{x+2} \). Это возможно только если \( x = x+2 \), что невозможно. Единственный вариант, когда \( A/B = A/C \) при \( A \neq 0 \), это \( B=C \), что невозможно. Или \( A=0 \), что тоже не так. Следовательно, утверждение неверно, если \( x \) — натуральное число. Но задача просит доказать, что существует. Если мы допустим, что \( x \) может быть не натуральным, то равенство также невозможно. Утверждение, что существует натуральное число \( x \), для которого \( 35:x = 35:(x+2) \), неверно.

и) \( x + (x + 1) + (x + 2) = 18 \)

Упростим уравнение: \( 3x + 3 = 18 \) \( 3x = 18 - 3 \) \( 3x = 15 \) \( x = \frac{15}{3} = 5 \). Число 5 является натуральным. Утверждение доказано.

к) \( (2x - 1)(3x - 2)(4x - 3) = 1 \)

Попробуем подобрать натуральное число. Если \( x=1 \), то \( (2\cdot1-1)(3\cdot1-2)(4\cdot1-3) = (1)(1)(1) = 1 \). Число 1 является натуральным. Утверждение доказано.

Ответ: Во всех пунктах, кроме з), существует натуральное число \( x \).