258 Докажи или опровергни утверждения:

Решение:

Для доказательства утверждения приводим пример или логическое обоснование. Для опровержения — контрпример.

1) Все числа кратны десяти.

Опровержение: Число 11 не кратно десяти, так как при делении на 10 даёт остаток 1. Следовательно, утверждение ложно.

2) Любое число, оканчивающееся цифрой 3, делится на 3.

Опровержение: Рассмотрим число 13. Оно оканчивается на 3, но не делится на 3 без остатка (13 : 3 = 4 с остатком 1). Следовательно, утверждение ложно.

3) Сумма цифр двузначного числа не может быть больше произведения его цифр.

Опровержение: Рассмотрим двузначное число 23. Сумма его цифр: \( 2 + 3 = 5 \). Произведение его цифр: \( 2 \times 3 = 6 \). В данном случае сумма цифр (5) не больше произведения цифр (6). Рассмотрим число 11. Сумма цифр: \( 1 + 1 = 2 \). Произведение цифр: \( 1 \times 1 = 1 \). Сумма (2) больше произведения (1). Следовательно, утверждение ложно.

4) Существует натуральное число х такое, что 18 - 4x = 6.

Доказательство: Решим уравнение: \( 18 - 4x = 6 \) \( -4x = 6 - 18 \) \( -4x = -12 \) \( x = \frac{-12}{-4} = 3 \). Число 3 является натуральным. Утверждение доказано.

5) Некоторые решения неравенства 2 < х < 7 являются четными числами.

Доказательство: Неравенство \( 2 < x < 7 \) означает, что \( x \) может быть любым числом между 2 и 7. Натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству: 3, 4, 5, 6. Среди них есть четные числа: 4 и 6. Следовательно, утверждение доказано.

6) Каждый делитель числа 10 является делителем числа 12.

Опровержение: Делители числа 10: 1, 2, 5, 10. Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Число 5 является делителем 10, но не является делителем 12. Число 10 является делителем 10, но не является делителем 12. Следовательно, утверждение ложно.

Ответ: Утверждения 1, 2, 3, 6 опровергнуты. Утверждения 4, 5 доказаны.