256 Докажи следующие утверждения:

Решение:

Чтобы доказать утверждение, нужно привести пример или логическое обоснование.

1) Некоторые числа больше семи.

Доказательство: Возьмем число 8. Оно больше семи. Следовательно, существуют числа, которые больше семи.

2) Существуют числа, кратные пяти.

Доказательство: Число 5 кратно пяти (5 : 5 = 1). Число 10 кратно пяти (10 : 5 = 2). Следовательно, существуют числа, кратные пяти.

3) Можно найти число, при делении которого на 6 получится 9.

Доказательство: Нужно найти число \( x \) такое, что \( x : 6 = 9 \). Умножим обе части на 6: \( x = 9 \times 6 = 54 \). Число 54 при делении на 6 дает 9. Утверждение доказано.

4) Сумма двух правильных дробей может быть неправильной дробью.

Доказательство: Возьмем две правильные дроби, например, \( \frac{1}{2} \) и \( \frac{3}{4} \). Их сумма: \( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \). Дробь \( \frac{5}{4} \) — неправильная, так как числитель больше знаменателя. Утверждение доказано.

5) Число, делящееся на 12, может не делиться на 8.

Доказательство: Возьмем число 24. Оно делится на 12 (24 : 12 = 2). Но 24 не делится на 8 без остатка (24 : 8 = 3 — делится, это плохой пример). Возьмем число 36. Оно делится на 12 (36 : 12 = 3). Но 36 не делится на 8 без остатка (36 : 8 = 4 с остатком 4). Утверждение доказано.

6) Существует трехзначное число, большее 995.

Доказательство: Число 996 является трехзначным и больше 995. Утверждение доказано.

7) Некоторые делители числа 28 — нечетные числа.

Доказательство: Делители числа 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Числа 1 и 7 являются делителями числа 28 и при этом являются нечетными. Утверждение доказано.

8) Существует число, кратное одновременно 8 и 12.

Доказательство: Найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 8 и 12. Разложим числа на простые множители: \( 8 = 2^3 \), \( 12 = 2^2 \times 3 \). НОК(8, 12) = \( 2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24 \). Число 24 кратно и 8 (24 : 8 = 3), и 12 (24 : 12 = 2). Утверждение доказано.

Ответ: Все утверждения доказаны.