264. Древнегреческих, а также древнеиндийских математиков интересовали числа, которые соответствовали количеству точек, расположенных в виде некоторой геометрической фигуры — треугольника, квадрата и др. Такие числа называли фигурными. Например, число 10 называли треугольным, число 16 — квадратным (рис. 13). Используя рисунок 13, попробуйте найти ещё несколько треугольных и квадратных чисел. Какими свойствами обладают эти числа? Подумайте, как можно находить треугольные и квадратные числа, используя ряд натуральных чисел.

Ряд треугольных чисел получают последовательным добавлением натуральных чисел: 1; 1 + 2 = 3; 1 + 2 + 3 = 6; 1 + 2 + 3 + 4 = 10; далее 15, 21, 28. Например, 15 точек можно расположить треугольником.

Квадратные числа получаются размещением одинакового числа точек в каждой строке и каждом столбце: 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36. Следовательно, следующие примеры — треугольные числа 15, 21, 28 и квадратные числа 25, 36, 49.

Треугольное число с номером n равно сумме первых n натуральных чисел: n(n + 1)/2. Квадратное число с номером n равно n². Это числа, которые можно представить соответственно в виде треугольника и квадрата из точек.