27. Решите уравнения: 1) (0,5)^{√(x−3)}=1; 2) 5^{x²−8x+12}=1; 3) 2^{x²}:4^x=8; 4) 9^{2√x}=3^{2x−6}; 5) 1000^x√(0,1)=100^x.

Question

Вопрос: $Фото задания: 27. Решите уравнения: 1) (0,5)^{√(x−3)}=1; 2) 5^{x²−8x+12}=1; 3) 2^{x²}:4^x=8; 4) 9^{2√x}=3^{2x−6}; 5) 1000^x√(0,1)=100^x.$ Фото задания

27. Решите уравнения: 1) (0,5)^{√(x−3)}=1; 2) 5^{x²−8x+12}=1; 3) 2^{x²}:4^x=8; 4) 9^{2√x}=3^{2x−6}; 5) 1000^x√(0,1)=100^x.

Accepted Answer

Так как основание не равно 1, показатель должен быть равен нулю: $\sqrt{x-3}=0$, откуда $x=3$.
$5^{x^2-8x+12}=1$ при $x^2-8x+12=0$. Разложим: $(x-2)(x-6)=0$, поэтому $x=2$ или $x=6$.
$2^{x^2}:4^x=2^{x^2-2x}=2^3$. Тогда $x^2-2x-3=0$, то есть $(x-3)(x+1)=0$. Ответ: $x=-1, 3$.
Область определения: $x\geq 0$. Перепишем уравнение с основанием 3: $3^{4\sqrt{x}}=3^{2x-6}$, поэтому $4\sqrt{x}=2x-6$. Положим $t=\sqrt{x}\geq0$: $t^2-2t-3=0$, откуда $t=3$, значит $x=9$.
$1000^x\sqrt{0,1}=100^x$ перепишем как $10^{3x-1/2}=10^{2x}$. Следовательно, $x=\frac12$.

Ответ: 1) 3; 2) 2, 6; 3) −1, 3; 4) 9; 5) $\frac12$.