273 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу:

Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁:

Дано:

• △ABC и △A₁B₁C₁ — прямоугольные (∠C = ∠C₁ = 90°).
• AC = A₁C₁ (равенство катетов).
• ∠B = ∠B₁ (равенство противолежащих углов).

Доказать: △ABC = △A₁B₁C₁.

Доказательство:

1. Так как ∠C = ∠C₁ = 90°, то ∠A = 90° - ∠B и ∠A₁ = 90° - ∠B₁.
2. По условию ∠B = ∠B₁, следовательно, ∠A = ∠A₁.
3. Теперь рассмотрим △ABC и △A₁B₁C₁:
• AC = A₁C₁ (по условию).
• ∠A = ∠A₁ (доказано выше).
• ∠C = ∠C₁ (по условию).
4. По второму признаку равенства треугольников (по двум углам и прилежащему к ним стороне), △ABC = △A₁B₁C₁.

Что и требовалось доказать.