278 К гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС с углом 15° проведены медиана СМ и высота СН. Найдите АВ, если CH = 4.

Анализ задачи:

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, ∠A = 15°. Проведены медиана CM и высота CH к гипотенузе AB. Известно, что CH = 4. Нам нужно найти длину гипотенузы AB.

Ключевые свойства, которые нам понадобятся:

1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, образует с катетами два треугольника, подобные исходному.
3. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
4. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее пополам, а также является центром описанной окружности.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем угол B.
   Так как △ABC — прямоугольный, то ∠A + ∠B = 90°.
   ∠B = 90° - ∠A = 90° - 15° = 75°.
2. Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник CHB.
   В △CHB: ∠CHB = 90°, ∠B = 75°.
3. Шаг 3: Найдем BH.
   В △CHB, CH — катет, противолежащий углу B.
   Используем тригонометрию: sin(∠B) = CH / BC, cos(∠B) = BH / BC, tg(∠B) = CH / BH.
   Из tg(∠B) = CH / BH следует BH = CH / tg(∠B) = 4 / tg(75°).
4. Шаг 4: Найдем tg(75°).
   tg(75°) = tg(45° + 30°) = (tg(45°) + tg(30°)) / (1 - tg(45°) * tg(30°)) = (1 + 1/√3) / (1 - 1/√3) = (√3 + 1) / (√3 - 1).
   Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (√3 + 1):
   tg(75°) = ((√3 + 1) * (√3 + 1)) / ((√3 - 1) * (√3 + 1)) = (3 + 2√3 + 1) / (3 - 1) = (4 + 2√3) / 2 = 2 + √3.
5. Шаг 5: Вычислим BH.
   BH = 4 / (2 + √3).
   Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (2 - √3):
   BH = (4 * (2 - √3)) / ((2 + √3) * (2 - √3)) = (8 - 4√3) / (4 - 3) = 8 - 4√3.
6. Шаг 6: Используем свойство медианы.
   Медиана CM равна половине гипотенузы AB, то есть CM = AB/2.
7. Шаг 7: Рассматриваем треугольник CHM.
   В прямоугольном треугольнике CHM, CM — гипотенуза, CH и HM — катеты. HM = |AM - AH|.
8. Шаг 8: Найдем AM.
   AM = AB/2.
9. Шаг 9: Свяжем CH, BH, AH и CM.
   Из подобия △ABC и △ACH следует: CH/AH = BH/CH, т.е. CH² = AH * BH.
10. Шаг 10: Найдем AH.
    AH = CH² / BH = 4² / (8 - 4√3) = 16 / (8 - 4√3) = 4 / (2 - √3).
    Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (2 + √3):
    AH = (4 * (2 + √3)) / ((2 - √3) * (2 + √3)) = (8 + 4√3) / (4 - 3) = 8 + 4√3.
11. Шаг 11: Найдем AB.
    AB = AH + BH = (8 + 4√3) + (8 - 4√3) = 16.

Ответ: 16