37. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.

Расстояние от точки до прямой

Определение: Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

Как найти расстояние от точки до прямой:

1. Геометрически:
   
   • Проведите из точки M перпендикуляр MP к прямой l.
   • Длина отрезка MP и есть расстояние от точки M до прямой l.
2. С помощью координат:
   Если даны точка M(x₀, y₀) и прямая l, заданная уравнением Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M до прямой l вычисляется по формуле:

Пример: Найти расстояние от точки A(2, 3) до прямой 3x + 4y - 10 = 0.

• A = 3, B = 4, C = -10
• x₀ = 2, y₀ = 3
• $$ d = rac{|3 imes 2 + 4 imes 3 - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = rac{|6 + 12 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} = rac{|8|}{\sqrt{25}} = rac{8}{5} = 1.6 $$

Ответ: Расстояние равно 1.6.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение: Расстояние между двумя параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую.

Как найти расстояние между параллельными прямыми:

1. Геометрически:
   
   • Выберите любую точку M на одной из прямых (например, l₁).
   • Проведите из точки M перпендикуляр MP ко второй прямой (l₂).
   • Длина отрезка MP и есть расстояние между параллельными прямыми.
2. С помощью координат:
   Если даны две параллельные прямые, заданные уравнениями Ax + By + C₁ = 0 и Ax + By + C₂ = 0 (коэффициенты A и B одинаковы, так как прямые параллельны), то расстояние между ними вычисляется по формуле:

Пример: Найти расстояние между прямыми 2x + 3y + 4 = 0 и 2x + 3y - 6 = 0.

• A = 2, B = 3, C₁ = 4, C₂ = -6
• $$ d = rac{|4 - (-6)|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = rac{|4 + 6|}{\sqrt{4 + 9}} = rac{|10|}{\sqrt{13}} = rac{10}{\sqrt{13}} $$

Ответ: Расстояние равно 10 / √13.