274 Докажите, что ДАВС = ДА₁В₁С₁, если ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁, BH = B₁H₁, где BH и B₁H₁ — высоты ДАВС и ДА₁В₁С₁, соответственно.

Анализ задачи:

Задача предлагает доказать равенство треугольников по двум углам и высотам, проведенным из вершин этих углов. Нам нужно использовать свойства подобных треугольников, так как прямое применение признаков равенства треугольников затруднено.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализ данных.
   Дано: △ABC и △A₁B₁C₁.
   ∠A = ∠A₁,
   ∠B = ∠B₁,
   BH = B₁H₁ (где BH и B₁H₁ — высоты, опущенные из вершин B и B₁ соответственно).
2. Шаг 2: Рассмотрение вспомогательных треугольников.
   Рассмотрим прямоугольные треугольники △ABH и △A₁B₁H₁.
   
   • ∠AHB = ∠A₁H₁B₁ = 90° (по определению высоты).
   • ∠A = ∠A₁ (по условию).
   • BH = B₁H₁ (по условию).
3. Шаг 3: Применение признака равенства прямоугольных треугольников.
   По второму признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу), △ABH = △A₁B₁H₁.
   Из равенства этих треугольников следует, что AB = A₁B₁ и AH = A₁H₁.
   Также из равенства ∠B = ∠B₁ и ∠A = ∠A₁ следует, что ∠C = 180° - ∠A - ∠B и ∠C₁ = 180° - ∠A₁ - ∠B₁, значит ∠C = ∠C₁.
   
4. Шаг 4: Применение первого признака равенства треугольников.
   Теперь рассмотрим △ABC и △A₁B₁C₁:
   
   • AB = A₁B₁ (доказано выше).
   • ∠A = ∠A₁ (по условию).
   • ∠B = ∠B₁ (по условию).
5. Шаг 5: Заключение.
   По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), △ABC = △A₁B₁C₁.

Ответ: Мы доказали равенство треугольников △ABC и △A₁B₁C₁.