28. а) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах. б) В прямоугольном треугольнике меньший угол равен 23°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. в) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 8°. Найдите больший острый угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Биссектриса прямого угла образует с каждым катетом угол \(45^\circ\). Высота из вершины прямого угла образует с катетами углы, равные острым углам треугольника. Поэтому разность между острыми углами равна удвоенному углу между высотой и биссектрисой.

1. а) Пусть меньший угол равен \(x\). Тогда больший угол равен \(90^\circ-x\), и \((90^\circ-x)-x=2\cdot14^\circ\). Получаем \(90^\circ-2x=28^\circ\), откуда \(x=31^\circ\).
2. б) Углы треугольника равны \(23^\circ\), \(67^\circ\) и \(90^\circ\). Угол между высотой и биссектрисой равен \(\dfrac{67^\circ-23^\circ}{2}=22^\circ\).
3. в) Пусть больший острый угол равен \(x\). Тогда меньший равен \(90^\circ-x\), поэтому \(x-(90^\circ-x)=2\cdot8^\circ\). Получаем \(2x-90^\circ=16^\circ\), откуда \(x=53^\circ\).

Ответ: а) 31°; б) 22°; в) 53°.