28. Найти производную: (2x² + 1)(4 + x³)

Решение:

Используем правило дифференцирования произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Здесь \( u = 2x^2 + 1 \) и \( v = 4 + x^3 \).

Найдём производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = (2x^2 + 1)' = (2x^2)' + (1)' = 4x + 0 = 4x \)
• \( v' = (4 + x^3)' = (4)' + (x^3)' = 0 + 3x^2 = 3x^2 \)

Подставим в формулу:

\( ((2x^2 + 1)(4 + x^3))' = (4x)(4 + x^3) + (2x^2 + 1)(3x^2) \)

Раскроем скобки:

\( = 16x + 4x^4 + 6x^4 + 3x^2 \)

Приведём подобные члены:

\( = 10x^4 + 16x + 3x^2 \)

Ответ: 10x⁴ + 3x² + 16x