28. Вычислить: 5) (1+i)³ - (1-i)³

Краткое пояснение:

Для вычисления данного выражения будем использовать формулы куба суммы \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) и куба разности \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \), а также тот факт, что \( i^2 = -1 \) и \( i^3 = -i \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Раскроем первую скобку \( (1+i)^3 \): \( (1+i)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 + i^3 = 1 + 3i + 3(-1) + (-i) = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i \).
2. Шаг 2: Раскроем вторую скобку \( (1-i)^3 \): \( (1-i)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot i + 3 \cdot 1 \cdot i^2 - i^3 = 1 - 3i + 3(-1) - (-i) = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i \).
3. Шаг 3: Вычтем из первого результата второй: \( (-2 + 2i) - (-2 - 2i) \).
4. Шаг 4: Упростим выражение: \( -2 + 2i + 2 + 2i \).
5. Шаг 5: Объединим действительные и мнимые части: \( (-2 + 2) + (2i + 2i) = 0 + 4i = 4i \).

Ответ: 4i