29. На рисунке \(PS=7,8\), \(RS=15,6\), \(RS\) — биссектриса угла \(PRQ\), \(RP\perp PQ\). Найдите \(SQ\) и \(\angle RQT\).

Так как \(RS\) — биссектриса, а расстояния от точки \(S\) до сторон угла равны, прямоугольные треугольники \(RPS\) и \(RSQ\) равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, \(PS=SQ\).

Значит, \(SQ=7,8\).

Треугольник \(RPS\) прямоугольный, причём \(RS=15,6=2\cdot7,8=2PS\). В прямоугольном треугольнике сторона, равная половине гипотенузы, лежит напротив угла \(30^\circ\). Поэтому угол при \(R\) равен \(30^\circ\), а каждый из двух углов, образованных биссектрисой, равен \(30^\circ\). Следовательно, \(\angle PRQ=60^\circ\).

В равнобедренном треугольнике \(PRQ\) углы при основании равны \(60^\circ\), то есть треугольник равносторонний. Внешний угол \(\angle RQT\) смежный с углом \(RQP=60^\circ\), поэтому \(\angle RQT=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

Ответ: \(SQ=7,8\); \(\angle RQT=120^\circ\).