290. Докажите на примерах, что: 1) два любых простых числа являются взаимно простыми числами; 2) два соседних натуральных числа являются взаимно простыми числами; 3) два соседних нечётных числа — взаимно простые числа.

Для различных простых чисел общий делитель может быть только 1, поскольку у каждого простого числа есть лишь делители 1 и оно само. Например, НОД(5, 7) = 1. Если подразумеваются любые простые числа, включая одинаковые, утверждение требует уточнения: НОД(5, 5) = 5, поэтому одинаковые простые числа не взаимно просты.

Любой общий делитель соседних натуральных чисел n и n + 1 делит их разность, равную 1. Например, НОД(8, 9) = 1.

Общий делитель соседних нечётных чисел n и n + 2 делит разность 2. Так как оба числа нечётные, их общий делитель не может быть равен 2; остаётся только 1. Например, НОД(15, 17) = 1.