3. 1) 2 · 9^x − 6^x = 4^x; 2) 9^x + 4^x = 2 · 6^x; 3) (2−√3)^x + (2+√3)^x = 4; 4) (√5−2)^x + (√5+2)^x = 18.

Question

Вопрос:

3. 1) 2 · 9^x − 6^x = 4^x; 2) 9^x + 4^x = 2 · 6^x; 3) (2−√3)^x + (2+√3)^x = 4; 4) (√5−2)^x + (√5+2)^x = 18.

Accepted Answer

1) Делим на \(4^x\) и обозначаем \(t=(3/2)^x>0\): \(2t^2-t=1\). Получаем \((2t+1)(t-1)=0\), значит, \(t=1\) и \(x=0\).

2) Делим на \(6^x\): \((3/2)^x+(2/3)^x=2\). Для \(t=(3/2)^x>0\) имеем \(t+1/t=2\), откуда \((t-1)^2=0\). Следовательно, \(x=0\).

3) Числа \(2-\sqrt3\) и \(2+\sqrt3\) взаимно обратны. Пусть \(t=(2+\sqrt3)^x>0\). Тогда \(t+1/t=4\), поэтому \(t=2\pm\sqrt3\). Отсюда \(x=1\) или \(x=-1\).

4) Числа \(\sqrt5-2\) и \(\sqrt5+2\) взаимно обратны. Полагая \(t=(\sqrt5+2)^x>0\), получаем \(t+1/t=18\), то есть \(t=9\pm4\sqrt5\). Это соответствует \(x=2\) и \(x=-2\).

Ответ: 1) 0; 2) 0; 3) −1, 1; 4) −2, 2.