Решить показательные уравнения: 1. 1) 2^(x²) · 0,25^x = 8; 2) 16 · 8^x = (1/√2)^(x²); 3) 7^((2x+5)/(x−1)) / 7^(x+1) = 1; 4) 0,1^((x+7)/(3x+4)) / 0,1^(x+7) = 1.

Question

Вопрос:

Фото задания: Решить показательные уравнения: 1. 1) 2^(x²) · 0,25^x = 8; 2) 16 · 8^x = (1/√2)^(x²); 3) 7^((2x+5)/(x−1)) / 7^(x+1) = 1; 4)…

Решить показательные уравнения: 1. 1) 2^(x²) · 0,25^x = 8; 2) 16 · 8^x = (1/√2)^(x²); 3) 7^((2x+5)/(x−1)) / 7^(x+1) = 1; 4) 0,1^((x+7)/(3x+4)) / 0,1^(x+7) = 1.

Accepted Answer

1) Переходим к основанию 2: \(2^{x^2-2x}=2^3\), поэтому \(x^2-2x-3=0\). Корни: \(x=-1, 3\).

2) В степенях основания 2: \(2^{4+3x}=2^{-x^2/2}\). Получаем \(x^2+6x+8=0\), откуда \(x=-4,-2\).

3) Область допустимых значений: \(x\ne1\). Приравниваем показатели: \(\frac{2x+5}{x-1}=x+1\), откуда \(x^2-2x-6=0\). Оба корня допустимы: \(x=1-\sqrt7, 1+\sqrt7\).

4) ОДЗ: \(x\ne-\frac43\). Равенство показателей даёт \(\frac{x+7}{3x+4}=x+7\). Отсюда \(x=-7\) или \(3x+4=1\), то есть \(x=-1\); оба значения допустимы.

Ответ: 1) −1, 3; 2) −4, −2; 3) 1−√7, 1+√7; 4) −7, −1.