5. 1) √(9^x − 3^(x+1) + 16) − 3^(2x−1) = 4 − 3^x; 2) 3 · √(9^(−x) + 3^(−x) − 1) + 3^(−x) + 3^(−2x) = 5; 3) √(4^x − 3 · 2^x + 2) = 2 − 2^x; 4) √(0,25^x − 3 · 0,5^x + 2) = 2 − 0,5^x.

1) Положим \(t=3^x>0\). Тогда подкоренное выражение равно \(t^2-3t+16\), а уравнение — \(\sqrt{t^2-3t+16}-t^2/3=4-t\). Обе части сравнимы при \(t\le4\); после переноса и возведения в квадрат получаем \(t^4/9-2t^3/3+3t^2-5t=0\), то есть \(t(t^3-6t^2+27t-45)=0\). Единственный положительный корень кубического множителя равен 3; проверка в исходном уравнении подтверждает \(t=3\), значит, \(x=1\).

2) Положим \(t=3^{-x}>0\). Тогда \(3\sqrt{t^2+t-1}+t+t^2=5\), при условии \(t^2+t-1\ge0\). Подстановка \(t=1\) удовлетворяет уравнению; левая часть строго возрастает на области определения, поэтому это единственное решение. Следовательно, \(x=0\).

3) Пусть \(t=2^x>0\). Правая часть требует \(t\le2\). Возводим в квадрат: \(t^2-3t+2=(2-t)^2\), откуда \(t=2\). Тогда обе части равны нулю, и \(x=1\).

4) Положим \(t=0.5^x>0\); необходимо \(t\le2\). После возведения в квадрат \(t^2-3t+2=(2-t)^2\), откуда \(t=2\). Следовательно, \(x=-1\).

Ответ: 1) 1; 2) 0; 3) 1; 4) −1.