3) 1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3 = n^2(2n^2-1);

1. Проверим для n=1: 1^3 = 1^2(2*1^2-1) = 1(1)=1. Верно.

2. Предположим, верно для k: 1^3+3^3+...+(2k-1)^3 = k^2(2k^2-1).

3. Проверим для k+1: 1^3+...+ (2k-1)^3 + (2(k+1)-1)^3 = k^2(2k^2-1) + (2k+1)^3 = 2k^4-k^2 + 8k^3+12k^2+6k+1 = 2k^4+8k^3+11k^2+6k+1. Требуется доказать, что это равно (k+1)^2(2(k+1)^2-1) = (k^2+2k+1)(2(k^2+2k+1)-1) = (k^2+2k+1)(2k^2+4k+2-1) = (k^2+2k+1)(2k^2+4k+1) = 2k^4+4k^3+k^2+4k^3+8k^2+2k+2k^2+4k+1 = 2k^4+8k^3+11k^2+6k+1. Доказано.